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콘웨이 연쇄 화살표 표기법

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목차

1. 개요

콘웨이 연쇄 화살표 표기법은 자연수를 나타내는 표기법으로, 연쇄 화살표를 사용하여 숫자를 표현하고 규칙에 따라 연산을 수행한다. 이 표기법은 빈 연쇄 화살표는 1을, p → q는 p의 q제곱을 나타내는 등 다양한 규칙을 가지며, 길이가 3인 연쇄 화살표는 하이퍼 연산 및 커누스 윗화살표 표기법과 대응된다. 콘웨이 연쇄 화살표 표기법은 아커만 함수, 그레이엄 수와 같은 큰 수를 표현하는 데 사용되며, 피터 허포드에 의해 확장되었다.

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콘웨이 연쇄 화살표 표기법
개요
유형수학적 표기법
분야수학, 조합론
고안자존 호턴 콘웨이
최초 고안일1970년경
정의 및 예시
기본 정의a → b = a^b
체인 길이 증가a → b → c = a↑^(c) b
일반화된 정의a → b → ... → y → z = a↑^(y ... ) b
예시3 → 3 → 2 = 3↑↑3 = 3^3^3 = 7625597484987
활용 및 확장
활용매우 큰 수를 간결하게 표현
확장하이퍼 연산, 배리어블 폴리애로우 표기법 등

2. 정의 및 규칙

콘웨이 연쇄 화살표 표기법은 다음과 같이 정의된다.


  • 어떤 자연수는 길이가 1인 연쇄 화살표이다.
  • 길이가 ''n''인 연쇄 화살표에 오른쪽 화살표 →와 자연수가 따라붙으면, 길이가 n+1인 연쇄 화살표가 된다.


모든 연쇄 화살표는 아래의 규칙을 따르는 정수를 나타낸다. 두 연쇄 화살표가 같은 정수를 나타낸다면 동등하다고 한다.

p와 q가 양의 정수이고, X 가 부분 연쇄 화살표라고 하면,

  • 빈 연쇄 화살표 (또는 길이가 0인 연쇄 화살표)는 1을 나타내고, 연쇄 화살표 p는 p를 나타낸다.
  • p \to q는 거듭제곱 표현 p^q를 나타낸다.
  • X \to 1는 X와 동등하다.
  • X \to p \to (q + 1)은 X \to ( X \to ( \cdots (X \to ( X ) \to q)\cdots ) \to q ) \to q와 동등하다. (''X''가 ''p''개, ''q''가 ''p'' − 1개, 그리고 ''p'' − 1쌍의 괄호가 있다. ''q'' > 0일 때만 적용이 된다)


마지막 규칙은 줄임표를 피하기 위해서 재귀적으로 설명할 수 있다:

  • X \to 1 \to (q + 1) = X
  • X \to (p + 1) \to (q + 1) = X \to (X \to p \to (q+1)) \to q

3. 성질

콘웨이 연쇄 화살표 표기법의 주요 성질은 다음과 같다.


::p \to q \to r = p [r+2] q = p \!\!\! \underbrace{ \uparrow\uparrow\uparrow \dots \uparrow\uparrow\uparrow } \!\!\! q = p\uparrow^r q.

  • ''a''로 시작하는 연쇄 화살표는 ''a''의 거듭제곱이다.
  • 연쇄 화살표 1 → ''Y''는 1이다.
  • 연쇄 화살표 ''X'' → 1 → ''Y''는 ''X''이다.
  • 연쇄 화살표 2 → 2 → ''Y''는 4이다.
  • 연쇄 화살표''X'' → 2 → 2는 ''X'' → (''X'')이다.
  • 임의의 체인에 대해 항상 단 하나의 정수가 정해진다.
  • 길이 ''n''의 체인 ''X'' → ''p'' → ''q''는 적절한 ''r''에 의해 ''X'' → ''r''로 변형할 수 있다. 즉, 선두에서 ''n'' − 2 항을 유지한 채 길이를 1 짧게 할 수 있다.


X, Y를 길이가 1 이상인 부분 체인으로 나타낼 때, 다음이 성립한다.

  • 1\to Y는 1과 같다.
  • X\to1\to Y는 X와 같다.
  • 2\to2\to Y는 4와 같다.
  • X\to2\to2는 X\to (X)와 같다.

4. 해석

연쇄 화살표를 ''전체''로 생각 해야 한다는 점에 유의해야 한다. 연쇄 화살표 표기법은 이항 연산이 반복된 것을 표시한 것이 아니다. 다른 삽입된 기호들(예: 3 + 4 + 5 + 6 + 7)은 의미의 변동(결합법칙을 보라)이 없거나 적어도 차례차례 어떤 순서대로 계산(예: 34567는 오른쪽에서 왼쪽으로)해야 하지 않을 때는 종종 조각내서 생각한다(예: (3 + 4) + 5 + (6 + 7)). 콘웨이 화살표 표기법에서는 그렇지 않다.

예를 들면:


  • 2\rightarrow3\rightarrow2 = {}^32 = 2^{2^2} = 16
  • 2\rightarrow\left(3\rightarrow2\right) = 2^{(3^2)} = 2^{3^2} = 512
  • \left(2\rightarrow3\right)\rightarrow2 = \left(2^3\right)^2 = 64


네번째 규칙이 핵심이다: 3 이상의 길이를 가지고 2 이상의 숫자로 끝나는 연쇄 화살표는 같은 길이에 대개 끝에서 두번째 원소가 늘어난 연쇄 화살표가 된다. 하지만 ''마지막'' 원소는 줄어들어서, 결국 세 번째 규칙을 만족해서 연쇄 화살표의 길이가 짧아진다. 그리고, 연쇄 화살표는 두 개의 원소로 줄어들고 두 번째 규칙이 재귀를 끝낸다. 화살표 사슬은 전체로 취급해야 한다. 화살표 사슬은 이항 연산자의 반복 적용을 설명하지 않는다. 다른 중위 표기 기호의 사슬(예: 3 + 4 + 5 + 6 + 7)은 의미 변화 없이 조각으로 간주될 수 있거나(예: (3 + 4) + 5 + (6 + 7); 결합법칙 참조), 적어도 34567과 같이 정해진 순서대로 단계별로 평가될 수 있지만, 콘웨이 연쇄 화살표 표기법에서는 그렇지 않다.

예를 들어:

  • 2\rightarrow3\rightarrow2 = 2\uparrow\uparrow3 = 2^{2^2} = 2^4=16
  • 2\rightarrow(3\rightarrow2) = 2^{3^2} = 2^9 = 512
  • (2 \rightarrow3) \rightarrow2 = (2^3)^2 =8^2=64


여섯 번째 정의 규칙이 핵심이다: 2 이상의 숫자로 끝나는 4개 이상의 요소로 이루어진 사슬은 (일반적으로 매우 크게) 증가된 끝에서 두 번째 요소를 가진 동일한 길이의 사슬이 된다. 그러나 그 ''궁극적인'' 요소는 감소되어 결국 다섯 번째 규칙이 사슬을 줄이는 것을 허용한다. 커누스의 말을 빌리자면, "많은 세부 사항" 후에 사슬은 세 개의 요소로 축소되고 네 번째 규칙이 재귀를 종료한다.

5. 예시

''n''

:= ''n'' (규칙 1에 따라)

''p→q''

:= ''pq'' (규칙 2에 따라)

:따라서 3→4 = 34 = 81

1→(''어떤 연쇄 화살표 표현'')

:= 1 (전체 표현은 결국 1숫자 = 1이 되기 때문이다. (실제로 1이 포함되는 연쇄 화살표는 1 앞에서 잘라버릴 수 있다. 예: 어떤 (포함된) 연쇄 화살표 ''X,Y''에 대해서 ''X''→1→''Y''=''X''이다.)

4→3→2

:= 4→(4→(4)→1)→1 (규칙 4) 그리고, 안의 괄호에서 바깥쪽으로 진행한다,

:= 4→(4→4→1)→1 (잉여 괄호를 제거)

:= 4→(4→4)→1 (3)

:= 4→(256)→1 (2)

:= 4→256→1 (잉여 괄호 제거)

:= 4→256 (3)

:= 4256 (2)

:=13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084096

:≈1.34078079299×10154

2→2→4

:= 2→(2)→3 (규칙 4)

:= 2→2→3 (잉여 괄호 제거)

:= 2→2→2 (4, 잉여 괄호 제거)

:= 2→2→1 (4, 잉여 괄호 제거)

:= 2→2 (3)

:= 4 (2) (사실, 2 두 개로 시작하는 연쇄 화살표는 4이다.)

2→4→3

:= '''2'''→('''2'''→('''2'''→('''2''')→2)→2)→2 (by 4) '''''X'''(여기에서는 '''2''')의 네 복사본은 '''q''' (여기에서는 마찬가지로 2)의 세 복사본과 구분하기 위해서 굵은 글씨로 표시했다''

:= 2→(2→(2→2→2)→2)→2 (잉여 괄호 제거)

:= 2→(2→(4)→2)→2 (이전 예시)

:= 2→('''2→4→2''')→2 (잉여 괄호 제거) ''(다음 식에서 확장시키는 것을 양 쪽 다 굵은 글씨로 표시했다)''

:= 2→('''2→(2→(2→(2)→1)→1)→1''')→2 (4)

:= 2→(2→(2→(2→2→1)→1)→1)→2 (잉여 괄호 제거)

:= 2→(2→(2→(2→2)))→2 (3 반복)

:= 2→(2→(2→(4)))→2 (2)

:= 2→(2→(16))→2 (2)

:= 2→65536→2 (2,잉여 괄호 제거)

:= 2→(2→(2→(...2→(2→(2)→1)→1...)→1)→1)→1 (4) 괄호가 65535쌍

:= 2→(2→(2→(...2→(2→(2))...))) (3 반복)

:= 2→(2→(2→(...2→(4))...))) (2)

:= 2→(2→(2→(...16...))) (2)

:= 22...2 (216 = 65536층의 탑)

:= 655362 (테트레이션을 보라)

2→3→2→2

:= 2→3→(2→3)→1 (규칙 4)

:= 2→3→8 (2와 3)

:= 2→(2→2→7)→7 (규칙 4)

:= 2→4→7 (앞의 2 두 개는 4이다)

:= 2→(2→(2→2→6)→6)→6 (4)

:= 2→('''2→4→6''')→6

:= 2→('''2→(2→(2→2→5)→5)→5''')→6 (4)

:= 2→(2→('''2→4→5''')→5)→6

:= 2→(2→('''2→(2→(2→2→4)→4)→4''')→5)→6 (4)

:= 2→(2→(2→('''2→4→4''')→4)→5)→6

:= 2→(2→(2→('''2→(2→(2→2→3)→3)→3''')→4) →5)→6 (4)

:= 2→(2→(2→(2→(2→4→3)→3)→4)→5)→6

:= 2→(2→(2→(2→(2→65536→2)→3)→4)→5)→6 (이전 예시)

:= ''이전의 숫자보다 훨씬 큼''

3→2→2→2

:= 3→2→(3→2)→1 (4)

:= 3→2→9 (2와 3)

:= 3→3→8 (4)

5. 1. 체계적인 예시

(2보다 작은 정수가 없는) 네 항을 가지는 가장 간단한 예시를 통해 패턴을 분석해 보자.

  • a \to b \to 2 \to 2 = a \to b \to a^b = a [a^b + 2] b
  • a \to b \to 3 \to 2 = a \to b \to (a \to b \to a^b) = a [a\to b \to 2 \to 2 + 2] b
  • a \to b \to 4 \to 2 = a \to b \to (a \to b \to (a \to b \to a^b)) = a [a \to b \to 3 \to 2 + 2] b


어떤 연쇄 화살표 ''X''에 대해서 f(p) = X \to p라고 두면 X \to p \to 2 = f^p(1)이다 (함수의 거듭제곱 참고).

X = a \to b에 적용하면 f(p) = a [p + 2]b이고 a \to b \to p \to 2 = a [a \to b \to (p - 1) \to 2 + 2] b = f^p(1)이다. 예를 들어 10 \to 6 \to 3\to 2 = 10 [10 [1000002] 6 + 2] 6 이다.

다음으로, a \to b \to 2 \to 3 = a \to b \to (a \to b) \to 2 = a \to b \to a^b \to 2 = f^{a^b}(1) 와 같이 나타낼 수 있다.

g_q(p) = X \to p \to q라고 하면 X \to p \to q+1 = g_q^p(1)이 된다. 즉, g_{q+1}(p) = g_q^p(1)이다. g_2(p) = a \to b \to p \to 2 = f^p(1)이고 g_3(p) = g_2^p(1)이므로 a \to b \to 2 \to 3 = g_3(2) = g_2^2(1) = g_2(g_2(1)) = f^{f(1)}(1) = f^{a^b}(1)이다.

6. 다른 표기법과의 관계

아커만 함수는 콘웨이 연쇄 화살표 표기법으로 표현할 수 있다.

:''m'' > 2일 때 ''A''(''m'', ''n'') = (2 → (''n'' + 3) → ''(m'' − 2)) − 3 (하이퍼 연산으로 ''A''(''m'', ''n'') = 2 [''m''] (''n'' + 3) - 3이기 때문이다)

따라서

:''n'' > 2일 때 2 → ''n'' → ''m'' = ''A''(''m'' + 2,''n'' − 3) + 3

(''n'' = 1과 ''n'' = 2는 논리적으로 ''A''(''m'', −2) = −1과 ''A''(''m'', −1) = 1에 대응하도록 추가할 수 있다).

그레이엄 수 G 자체는 콘웨이 표기법으로 간결하게 표현할 수는 없지만, 중간 함수 f(n) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow n 를 정의하면, G = f^{64}(4) (함수의 거듭제곱 참조)로 나타낼 수 있다. 여기서 윗첨자 64는 함수 f를 64번 합성한 것을 의미한다.

규칙에 따라 계산하면,


  • f^{64}(1) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2
  • f^{64}(4) = G
  • f^{64}(27) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2


가 된다.

f가 강한 증가 함수이므로, f^{64}(1) < f^{64}(4) < f^{64}(27) 이 성립한다. 따라서 그레이엄 수 G는 다음 범위를 갖는다.

:3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2 < G < 3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2

콘웨이 연쇄 화살표 표기법을 이용하면 그레이엄 수보다 훨씬 큰 수를 쉽게 만들 수 있다. 예를 들어 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 은 그레이엄 수보다 훨씬 크다.

연쇄 화살표를 사용하면, 그레이엄 수보다 훨씬 큰 수를 쉽게 지정할 수 있다. 예를 들어, 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 와 같다.

3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3

:= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 27 \rightarrow 2) \rightarrow 2\,

:= f^ {3 \rightarrow 3 \rightarrow 27 \rightarrow 2}(1)

:= f^{f^{27}(1)}(1)



\left.

\begin{matrix}

= &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdot\cdot \uparrow}3 \\

&3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdot \uparrow}3 \\

&3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\

&\underbrace{\qquad\;\; \vdots \qquad\;\;} \\

&3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdot \uparrow}3 \\

&3\uparrow 3

\end{matrix}

\right\}

\left.

\begin{matrix}

3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdot \uparrow}3 \\

3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\

\underbrace{\qquad\;\; \vdots \qquad\;\;} \\

3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdot \uparrow}3 \\

3\uparrow 3

\end{matrix}

\right\} \ 27



이는 그레이엄 수보다 훨씬 크다. 왜냐하면 3 \rightarrow 3 \rightarrow 27 \rightarrow 2 = f^{27}(1)이 65보다 훨씬 크기 때문이다.

체인 표기법(및 그 확장 표기법)에서는, 수의 크기를 평가하기 위한 중요도는 다음과 같다.

(확장 체인 계열의 표기법에서의 체인의 확장 레벨 >) 체인의 길이 > 꼬리의 변수 > 꼬리에서 2번째 변수 > 그 외의 변수

체인 표기법(및 그 확장 표기법)에서는, 어떤 변수의 값이 증가해도 엄밀하게는 수는 증가하지만, 특히 5개 이상의 묶음 체인에서는, 꼬리의 두 개 이외의 변수의 값이 증가해도 거대수로 무시할 수 있는 수준의 증가밖에 되지 않는다. 또한 꼬리의 변수가 거대수 레벨이 되면, 꼬리에서 2번째 변수의 값이 증가해도 거대수로 무시할 수 있는 수준의 증가밖에 되지 않는다.

피쉬 수 버전 1은 CG함수로 CG(그레이엄 수), 즉 \underbrace {G\rightarrow G\rightarrow\dots\rightarrow G}_{\text{그레이엄 수 개의 G}}보다 훨씬 크다. 피쉬 수 버전 1은 피터 하포드의 확장 체인 표기법에 의한 근사로 ≒5→₂64→₂2, 피쉬 수 버전 2는 동 표기에 의한 근사로 ≒3→₆₄3→₆₄2 정도의 크기가 된다. 이처럼 피쉬 수는 버전 1과 버전 2까지는 확장 체인 계열의 표기법 범위에서 근사 가능하지만, 버전 3 이상이 되면 그 수준마저 훨씬 본질적으로 초과해 버린다.

체인 표기법과는 다른 규칙에 의해, 체인 표기법(및 그 확장 표기법)보다 효율적으로 수의 크기를 폭발시킬 수 있는 표기법으로서, 배열 표기법이 있으며, 그것에도 확장 표기법이 고안되어 있으며, 그 최종 형태에는 BEAF와 버드의 배열 표기법이 있다. 구체적으로는, 체인 표기법으로 나타내는 수는 다변수 아커만 함수에서는 3변수 정도, 배열 표기법에서는 4변수 정도, 피터 하포드의 확장 체인 표기법(혹은 크리스 버드의 회전 화살표 표기법)으로 나타내는 수는 다변수 아커만 함수에서는 4변수 정도, 배열 표기법에서는 5변수 정도의 레벨이 된다. 체인 표기법 및 그 확장 표기법과 배열 표기법과의 비교(근사·대소 관계)에 대해서는 배열 표기법#체인 표기법과의 비교 및 회전 화살표 표기법#다른 표기법과의 비교를 참조할 것.

BEAF의 배열 표기법은 다변수 아커만 함수와 같은 정도의 증가 속도를 가지며, BEAF 자체는 더욱 큰 증가 속도를 가진다(테트레이션 배열 등).

6. 1. 아커만 함수

아커만 함수는 콘웨이 연쇄 화살표 표기법으로 표현할 수 있다.

:''m'' > 2일 때 ''A''(''m'', ''n'') = (2 → (''n'' + 3) → ''(m'' − 2)) − 3 (하이퍼 연산으로 ''A''(''m'', ''n'') = 2 [''m''] (''n'' + 3) - 3이기 때문이다)

따라서

:''n'' > 2일 때 2 → ''n'' → ''m'' = ''A''(''m'' + 2,''n'' − 3) + 3

(''n'' = 1과 ''n'' = 2는 논리적으로 ''A''(''m'', −2) = −1과 ''A''(''m'', −1) = 1에 대응하도록 추가할 수 있다).

6. 2. 그레이엄 수

그레이엄 수 G 자체는 콘웨이 표기법으로 간결하게 표현할 수는 없지만, 중간 함수 f(n) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow n 를 정의하면, G = f^{64}(4) (함수의 거듭제곱 참조)로 나타낼 수 있다. 여기서 윗첨자 64는 함수 f를 64번 합성한 것을 의미한다.

규칙에 따라 계산하면,

  • f^{64}(1) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2
  • f^{64}(4) = G
  • f^{64}(27) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2


가 된다.

f가 강한 증가 함수이므로, f^{64}(1) < f^{64}(4) < f^{64}(27) 이 성립한다. 따라서 그레이엄 수 G는 다음 범위를 갖는다.

:3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2 < G < 3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2

콘웨이 연쇄 화살표 표기법을 이용하면 그레이엄 수보다 훨씬 큰 수를 쉽게 만들 수 있다. 예를 들어 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 은 그레이엄 수보다 훨씬 크다.

7. 확장

콘웨이와 리처드 K. 가이}}는 표기법 전체에서 대각선으로 처리되는 단일 인자 함수 cg(n)을 만들었는데, 다음과 같이 정의된다.

:cg(n) = \underbrace{n\rightarrow n\rightarrow n\rightarrow \dots \rightarrow n\rightarrow n\rightarrow n}_{n}

이는 다음 시퀀스를 의미한다.

:cg(1) = 1

:cg(2) = 2 \to 2 = 2^2 = 4

:cg(3) = 3 \to 3 \to 3 = 3\uparrow\uparrow\uparrow3

:cg(4) = 4 \to 4 \to 4 \to 4

:cg(5) = 5 \to 5 \to 5 \to 5 \to 5

...

이 함수는 예상할 수 있듯이 매우 빠르게 증가한다. 이 함수는 급증 함수이며 cg(x)\approx f_{\omega^2}(x)로 근사할 수 있다.

웹 개발자이자 통계학자인 피터 허포드(Peter Hurford)는 2011년에 이 표기법의 확장을 정의했다.[2]

:a \rightarrow_b c = \underbrace{a\rightarrow_{b-1} a\rightarrow_{b-1} a\rightarrow_{b-1} \dots \rightarrow_{b-1} a\rightarrow_{b-1} a\rightarrow_{b-1} a}_{c \text{ 개의 화살표}} (\rightarrow_{b-1}이 c개라는 의미)[2]

:a \rightarrow_1 b = a \rightarrow b[2]

그 외에는 모든 일반 규칙이 변경되지 않는다.[2]

:a \rightarrow_2 (a-1)은 이미 앞서 언급한 cg(a)와 같으며, 함수 f(n) = n \rightarrow_n n은 콘웨이와 가이의 cg(n)보다 훨씬 빠르게 증가한다.[2]

b와 d가 다른 숫자일 경우 a \rightarrow_b c \rightarrow_d e와 같은 표현은 유효하지 않다.[2] 즉, 체인은 하나의 오른쪽 화살표 유형만 가져야 한다.[2]

그러나 다음과 같이 약간 수정하면:

:a \rightarrow_b c \rightarrow_d e = a \rightarrow_b \underbrace{c \rightarrow_{d-1} c \rightarrow_{d-1} c \rightarrow_{d-1} \dots \rightarrow_{d-1} c \rightarrow_{d-1} c \rightarrow_{d-1} c}_{e \text{ 화살표/Richard K. Guy영어

a \rightarrow_b c \rightarrow_d e가 유효해질 뿐만 아니라 표기법 전체가 훨씬 강력해진다.[2]

7. 1. CG 함수

콘웨이와 리처드 K. 가이/Richard K. Guy영어는 표기법 전체에서 대각선으로 처리되는 단일 인자 함수 cg(n)을 만들었는데, 다음과 같이 정의된다.

:cg(n) = \underbrace{n\rightarrow n\rightarrow n\rightarrow \dots \rightarrow n\rightarrow n\rightarrow n}_{n}

이는 다음 시퀀스를 의미한다.

:cg(1) = 1

:cg(2) = 2 \to 2 = 2^2 = 4

:cg(3) = 3 \to 3 \to 3 = 3\uparrow\uparrow\uparrow3

:cg(4) = 4 \to 4 \to 4 \to 4

:cg(5) = 5 \to 5 \to 5 \to 5 \to 5

...

이 함수는 예상할 수 있듯이 매우 빠르게 증가한다. 이 함수는 급증 함수이며 cg(x)\approx f_{\omega^2}(x)로 근사할 수 있다.

7. 2. 피터 허포드의 확장

웹 개발자이자 통계학자인 피터 허포드(Peter Hurford)는 2011년에 이 표기법의 확장을 정의했다.[2]

:a \rightarrow_b c = \underbrace{a\rightarrow_{b-1} a\rightarrow_{b-1} a\rightarrow_{b-1} \dots \rightarrow_{b-1} a\rightarrow_{b-1} a\rightarrow_{b-1} a}_{c \text{ 개의 화살표}} (\rightarrow_{b-1}이 c개라는 의미)[2]

:a \rightarrow_1 b = a \rightarrow b[2]

그 외에는 모든 일반 규칙이 변경되지 않는다.[2]

:a \rightarrow_2 (a-1)은 이미 앞서 언급한 cg(a)와 같으며, 함수 f(n) = n \rightarrow_n n은 콘웨이와 가이의 cg(n)보다 훨씬 빠르게 증가한다.[2]

b와 d가 다른 숫자일 경우 a \rightarrow_b c \rightarrow_d e와 같은 표현은 유효하지 않다.[2] 즉, 체인은 하나의 오른쪽 화살표 유형만 가져야 한다.[2]

그러나 다음과 같이 약간 수정하면:

:a \rightarrow_b c \rightarrow_d e = a \rightarrow_b \underbrace{c \rightarrow_{d-1} c \rightarrow_{d-1} c \rightarrow_{d-1} \dots \rightarrow_{d-1} c \rightarrow_{d-1} c \rightarrow_{d-1} c}_{e \text{ 화살표}}

a \rightarrow_b c \rightarrow_d e가 유효해질 뿐만 아니라 표기법 전체가 훨씬 강력해진다.[2]

8. 각주

참조

[1] 서적 The Book of Numbers 1996
[2] 뉴스 Large Numbers, Part 2: Graham and Conway - Greatplay.net https://archive.toda[...] 2013-06-25
[3] 서적 The Book of Numbers 1996
[4] 뉴스 Large Numbers, Part 2: Graham and Conway - Greatplay.net https://archive.is/r[...] 2013-06-25
[5] 서적 The Book of Numbers 1996


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